Contenuti dei corsi di Analisi 1 e 2.

Serie e successioni di funzioni, funzioni in più variabili, forme differenziali.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base di tipo analitico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:  essere in grado di produrre  dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi,  essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, in modo da facilitare la loro analisi e risoluzione,  essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento. Saranno indicati argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Lezioni frontali

La prova scritta consiste nella soluzioni di alcuni esercizi sugli argomenti del corso ed e’ propedeutica a quella orale. La prova orale serve a verificare l’apprendimento dei concetti fondamentali, dei risultati principali, delle tecniche dimostrative nonche’ della capacità di esporre in modo chiaro gli argomenti del corso.

Serie di funzioni: Serie di potenze e raggio di convergenza. Serie di Taylor e sviluppi in serie notevoli.Somma per parti e formula di Abel. Continuità sino al bordo. Serie trigonometriche, serie di Fourier, convergenza puntuale ed uniforme.

Funzioni reali di più variabili reali: Cenni di topologia di R^n. Definizione di limite. Funzioni continue e loro proprietà. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Funzioni uniformemente continue e funzioni Lipschitziane. Teorema di Heine- Cantor. Funzioni vettoriali di una variabile. Domini e grafici di funzioni di due/tre variabili

 Calcolo differenziale in più variabili: Derivate parziali e differenziabilità. Proprietà delle funzioni differenziabili . Significato geometrico. Teorema della media o di Lagrange in più variabili.  Teorema del differenziale totale. Differenziale della funzione composta.. Funzioni di classe Cn. Teorema di Schwarz.  Formula di Taylor del secondo ordine.  Polinomio di Taylor.Punti critici. Massimi e minimi relativi Matrice Hessiana. Forma quadratica Hessiana. Funzioni convesse.

Funzioni vettoriali: Matrice Jacobiana e differenziale. Differenziale della funzione composta. 

Curve in Rn: Curve regolari e regolari a tratti. Versore tangente e retta tangente ad una curva. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Integrali di linea di funzioni reali e vettoriali. Esempio di curva non rettificabile.

Forme differenziali: Integrale  lungo una curva.  Forme chiuse ed esatte. Condizioni sul dominio della forma perché una  forma chiusa sia  esatta. Campi conservativi e irrotazionali. Potenziale vettore di un campo vettoriale. 

Invertibilità locale e funzioni implicite. Teorema di invertibilità locale.Teorema di Dini. Massimi e minimi vincolati.

J. P. Cecconi-G. Stampacchia,  Analisi Matematica vol II

E. Giusti: Analisi II

Fusco, Marcellini, Sbordone, Analisi Matematica 2

Dispense di esercizi