Non è richiesto alcun prerequisito.

Il corso ha come obiettivo principale l’acquisizione di conoscenze e competenze di base nell’ambito delle strutture algebriche, in particolare dei gruppi. Particolare cura è data alla comprensione delle argomentazioni e al rigore nella presentazione dei concetti e dei ragionamenti.

Conoscenze e comprensione
Possedere una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base di tipo algebrico.
 

Capacità di applicare conoscenze e comprensione

• essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi;
• essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, in modo da facilitare la loro analisi e risoluzione;
• essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Algebra.

Autonomia di giudizio
L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.
 

Abilità comunicative
La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Algebra, sia in forma scritta che orale.
 

Capacità di apprendimento
Saranno indicati argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta è finalizzata a verificare la capacità di produrre dimostrazioni rigorose di semplici affermazioni matematiche correlate agli argomenti del corso, e prevede lo svolgimento di tre esercizi in due ore. Il colloquio orale è volto invece a valutare l'abilità di esporre in modo chiaro e rigoroso i contenuti trattati.

Il conseguimento della sufficienza nello scritto consente l'accesso all'orale entro e non oltre l'appello successivo. In caso di mancato superamento della prova orale, sarà necessario ripetere la prova scritta.

Sono inoltre previste due valutazioni intermedie (esoneri): la prima nel mese di novembre e la seconda al termine delle lezioni. Il raggiungimento della sufficienza in entrambi i test esonera dallo scritto fino alla sessione di settembre; in tal caso, è consentito presentarsi all'orale per un massimo di due volte sfruttando l'esonero ottenuto.

La prenotazione a entrambe le prove è obbligatoria e deve essere effettuata esclusivamente tramite le modalità online previste dal sistema VOL.

Introduzione al linguaggio matematico. Insiemi, sottoinsiemi, operazioni con gli insiemi. Coppie, relazioni, funzioni, inversione di una funzione, composizione di funzioni. Relazioni di equivalenza e partizioni, equivalenza associata ad una funzione.

Aritmetica sui numeri interi. Proprietà elementari degli interi. Divisibilità, proprietà euclidea degli interi, massimo comun divisore, teorema dell’algoritmo euclideo, numeri primi, lemma di Euclide, teorema fondamentale dell’aritmetica, congruenze modulo un intero, il piccolo teorema di Fermat, il teorema di Wilson.

Strutture algebriche. Aritmetica sulle classi modulo un intero, isomorfismi di strutture algebriche, sottostrutture, strutture quoziente, teorema di omomorfismo per strutture, elementi invertibili di un monoide, automorfo di una struttura.

Gruppi. Proprietà elementari dei gruppi, sottogruppi di un gruppo e loro caratterizzazioni, gruppi ciclici, equivalenza associata ad un sottogruppo, il teorema di Lagrange, sottogruppi normali e loro caratterizzazioni, gruppi quoziente, sottogruppi di un gruppo quoziente, ordine di un elemento in un gruppo e alcune sue proprietà, il teorema di Eulero-Fermat e nuova dimostrazione del teorema di Wilson, caratterizzazione dei gruppi ciclici finiti.

Azioni di un gruppo. Il teorema di Cayley, equivalenza associata ad permutazione, il teorema sulla decomposizione di una permutazione in cicli disgiunti, caratterizzazione delle permutazioni simili, segnatura di una permutazione, azioni di un gruppo su un insieme, equazione delle orbite, i teoremi di Sylow.

• D. Dikranjan, M.S. Lucido: Aritmetica e algebra, Liguori Editore, Napoli, 2007.
• S. Franciosi, F. de Giovanni: Elementi di Algebra, Aracne Editrice, Roma, 1992.
• D.J.K. Robinson: An Introduction to Abstract Algebra, Walter de Gruyter, Berlin, 2003.